Правило умножения обычной дроби на натуральное число. Составление системы уравнений

Умножение и деление дробей

Правило умножения обычной дроби на натуральное число. Составление системы уравнений

2 августа 2011

В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей»). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.

Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.

Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.

Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.

Обозначение:

Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.

В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

  1. Плюс на минус дает минус;
  2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

  1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
  2. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Задача. Найдите значение выражения:

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения. Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать. Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Так делать нельзя!

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Правильное решение:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

Источник: https://www.berdov.com/docs/fraction/multiplication_division/

Алгебра. Урок 1. Числа и вычисления

Правило умножения обычной дроби на натуральное число. Составление системы уравнений

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

-уроки на канале Ёжику Понятно.

страницы:

Действия с дробями

Действия со степенями

  • Возведение отрицательных чисел в степень

Примеры решений заданий из ОГЭ

Действия с дробями

Понятие обыкновенной, десятичной, смешанной дроби.

Обыкновенная дробь – дробь вида

a b

где число a – числитель дроби, число b – знаменатель.
Примеры:

1 2 ; 6 5 ; 3 1 ; 7 15 .

Обыкновенная дробь может быть правильной или неправильной, сократимой или несократимой:

Дробь называется правильной, если числитель ( a ) меньше знаменателя ( b ) .
Примеры:

5 6 ; 3 4 .

Дробь называется неправильной, если числитель ( a ) больше знаменателя ( b ) .
Примеры:

6 5 ; 3 1 .

Основное свойство обыкновенной дроби:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число (натуральные числа – числа, которые используются при счете: 1, 2, 3, …), то получится дробь, равная данной.

Дробь называется сократимой, если числитель и знаменатель имеют общие множители (числитель и знаменатель можно поделить на одно и то же число).
Примеры сократимых дробей:

12 16 = 3 ? 4 4 ? 4 = 3 4

21 14 = 3 ? 7 2 ? 7 = 3 2

Дробь называется несократимой, если числитель и знаменатель дроби не имеют общих множителей.
Примеры несократимых дробей:

2 5 ; 9 11 ; 125 126 .

Дробь называется смешанной, если у нее есть целая часть. То есть саму дробь можно представить в виде суммы целого числа и обыкновенной дроби.
Примеры смешанных дробей:

3 1 2 ; 2 7 8 ; 90 12 77 .

Смешанную дробь всегда можно перевести в неправильную обыкновенную дробь.

3 1 2 = 3 ⋅ 2 + 1 2 = 7 2

2 7 8 = 2 ⋅ 8 + 7 8 = 23 8

90 12 77 = 90 ⋅ 77 + 12 77 = 6942 77

Дробь называется десятичной, если она представлена в десятичной записи.
Примеры десятичных дробей:

56,002;   4,125;   12,3;   0,01.

Десятичную дробь всегда можно перевести в смешанную дробь или в обыкновенную дробь с числителем и знаменателем. Так поступают, когда необходимо совершить действие между обыкновенной дробью и десятичной.

Перевод в смешанные дроби:

56,002 = 56 2 1000 = 56 1 500

56,002 = 56 2 1000 = 56 1 500

Перевод в обыкновенные дроби:

12 , 3 = 12 3 10 = 12 ⋅ 10 + 3 10 = 123 10 0 , 01 = 1 100

Сложение и вычитание дробей.

Для того, чтобы складывать и вычитать смешанные дроби между собой, необходимо действовать следующим образом:

  • превратить дроби из смешанных в неправильные, если такие дроби есть, например: \[2\frac{7}{8} = \frac{{2 \cdot 8 + 7}}{8} = \frac{{23}}{8}\]
  • найти наименьший общий знаменатель у полученных дробей и домножить числители на недостающие множители;
  • произвести сложение или вычитание числителей дробей, подписав под суммой или разностью общий знаменатель.

Примеры:

(1) 2 1 6 +1 7 8 = 2⋅6+1 6 + 1⋅8+7 8 = 13 6 + 15 8 = 13⋅4 6⋅4 + 15⋅3 8⋅3 = 52+45 24 = 97 24 =4 1 24 (2) 3 7 12 −2 3 16 = 3⋅12+7 12 − 2⋅16+3 16 = 43 12 − 35 16 = 43⋅4 12⋅4 − 35⋅3 16⋅3 = 172−105 48 = 67 48 =1 19 48 (3) 2 3 14 −0,6= 2⋅14+3 14 − 6 10 = 31 14 − 3 5 = 31⋅5 14⋅5 − 3⋅14 5⋅14 = 155−42 70 = 113 70 =1 43 70

Умножение и деление дробей.

При умножении двух дробей числитель первой дроби умножается на числитель второй дроби, знаменатель первой дроби умножается на знаменатель второй:

\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{{a \cdot c}}{{b \cdot d}}\]

Чтобы умножить дробь на число, необходимо представить это число в виде дроби со знаменателем-единицей:

\[\frac{a}{b} \cdot c = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{1} = \frac{{a \cdot c}}{{b \cdot 1}} = \frac{{a \cdot c}}{b}\]

При делении двух дробей необходимо первую дробь умножить на «перевёрнутую» предыдущую, то есть у дроби-делителя поменять местами числитель и знаменатель и поставить операцию умножения вместо операции деления между этими дробями:

\[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{{a \cdot d}}{{b \cdot c}}\]

Чтобы разделить дробь на число, необходимо представить это число в виде дроби со знаменателем-единицей:

\[\frac{a}{b} \div c = \frac{a}{b} \div \frac{c}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} = \frac{{a \cdot 1}}{{b \cdot c}} = \frac{a}{{b \cdot c}}\]

Примеры:

(1) 2 3 4 ⋅ 8 11 ÷0,5= 11 1 4 1 ⋅ 8 2 11 1 ÷ 5 1 10 2 =2÷ 1 2 =2⋅ 2 1 =4 (2) 6÷2,25⋅1,5= 6 1 ÷2 1 4 ⋅1 5 1 10 2 = 6 1 ÷ 9 4 ⋅ 3 2 = 6 3 1 ⋅ 4 9 3 ⋅ 3 1 2 1 =4

Сравнение дробей.

Для того, чтобы сравнивать две дроби между собой, нужно уметь выполнять действия с дробями (сложение, вычитание, умножение, деление). При сравнении дробей, особенно в заданиях, где требуется расположить дроби в порядке возрастания или убывания, удобно приводить обыкновенную дробь к виду десятичной.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.
Примеры:

\[\frac{4}{7} < \frac{5}{7};\;\;\;\; \frac{3}{{14}} > \frac{1}{{14}};\;\;\;\; \frac{2}{3} < \frac{{55}}{3}.\]Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
Примеры:

\[\frac{2}{7} < \frac{2}{5};\;\;\;\; \frac{7}{6} > \frac{7}{{11}};\;\;\;\; \frac{5}{4} > \frac{5}{5}.\]Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю.
Пример 1:

\[\frac{2}{5}?\frac{3}{7}\]

Приводим дроби к общему знаменателю:

\[\mathop {\frac{{{2{\backslash 7}}}}{5}?\frac{{{3{\backslash 5}}}}{7}}\limits_{35} \Leftrightarrow \frac{{14}}{{35}} < \frac{{15}}{{35}}\]

Приходим к выводу, что:

\[\frac{2}{5} < \frac{3}{7}\]

Пример 2:

\[\frac{5}{6}?\frac{7}{9}\]

Приводим дроби к общему знаменателю:

\[\mathop {\frac{{{5{\backslash 3}}}}{6}?\frac{{{7{\backslash 2}}}}{9}}\limits_{18} \Leftrightarrow \frac{{15}}{{18}} > \frac{{14}}{{18}}\]

Приходим к выводу, что:

\[\frac{5}{6} > \frac{7}{9}\]

Действия со степенями

$an$ — степень числа $a$ с натуральным показателем $n$.

$a$ — основание степени, $n$ — показатель.

a n = a⋅a⋅…⋅a ︸ n раз — произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.

Любое число $a$ можно представить в виде $a=a1$. То есть $2=21$, $15=151$ и так далее.

Единицу можно представить, как произвольное число в степени $0$, то есть $1=20=150\dotsc$

Единицу можно возводить в любую степень, то есть $1=1n=10=11=18=1{146}\dotsc$

Ноль в любой натуральной степени есть ноль, то есть: $0 = {0n} = {01} = {0{15}} = {0{179}}\dotsc$ где $n e 0$.

Запись 0 0 в математике не имеет смысла.

Свойства степеней с натуральным показателем:

(1) a m ⋅ a n = a m+n

Пример:

$${a2} \cdot {a5} = {a7}$$ (2) a m a n = a m−n

Пример:

$$\frac{{{a4}}}{{{a3}}} = {a{4 – 3}} = {a1} = a$$ (3) (a⋅b) n = a n ⋅ b n

Пример:

$${(a \cdot b)3} = {a3} \cdot {b3}$$ (4) ( a b ) n = a n b n

Пример:

$${\left( {\frac{a}{b}} \right)8} = \frac{{{a8}}}{{{b8}}}$$ (5) ( a m ) n = a m⋅n

Пример:

$${({a2})5} = {a{2 \cdot 5}} = {a{10}}$$ (6) a −n = 1 a n

Примеры:

$${a{ – 2}} = \frac{1}{{{a2}}};\;\;\;\;{a{ – 1}} = \frac{1}{{{a1}}} = \frac{1}{a}.$$

Возведение отрицательных чисел в степень

Отрицательное число, возведенное в нечётную степень есть число отрицательное
Примеры:

\[{( – 2)3} = – ({23}) = – 8;\] \[{( – 1)5} = – ({15}) = – 1;\] \[{( – 6)1} = – 6;\] \[{( – 10)3} = – ({103}) = – 1000.\]

Отрицательное число, возведенное в чётную степень есть число положительное
Примеры:

\[{( – 2)4} = {24} = 16;\] \[{( – 1){10}} = {1{10}} = 1;\] \[{( – 10)6} = {106} = 1000000.\]

Задание №6 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Скачать домашнее задание к уроку 1.

Источник: https://epmat.ru/modul-algebra/urok-1-chisla-i-vychisleniya/

Умножение обыкновенных дробей: правила, примеры, решения, умножение дробей с разными знаменателями

Правило умножения обычной дроби на натуральное число. Составление системы уравнений

Еще одно действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, – умножение. Мы попробуем разъяснить его основные правила при решении задач, покажем, как умножается обыкновенная дробь на натуральное число и как правильно выполнить умножение трех обыкновенных дробей и больше.

Как умножить одну обыкновенную дробь на другую

Запишем сначала основное правило:

Определение 1

Если мы умножим одну обыкновенную дробь, то числитель дроби, полученной в результате, будет равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель – произведению их знаменателей. В буквенном виде для двух дробей a/b и c/d это можно выразить как ab·cd=a·cb·d.

Посмотрим на примере, как правильно применить это правило. Допустим, у нас есть квадрат, сторона которого равна одной числовой единице. Тогда площадь фигуры составит 1 кв. единицу.

Если разделить квадрат на равные прямоугольники со сторонами, равными 14 и 18 числовой единицы, у нас получится, что он теперь состоит из 32 прямоугольников (потому что 8·4=32).

Соответственно, площадь каждого из них будет равна 132 от площади всей фигуры, т.е. 132 кв. единицы.

Далее нам надо выделить цветом часть исходного квадрата так, как это сделано на рисунке:

У нас получился закрашенный фрагмент со сторонами, равными 58 числовой единицы и 34 числовой единицы. Соответственно, для вычисления его площади надо умножить первую дробь на вторую. Она будет равна 58·34 кв. единиц. Но мы можем просто подсчитать, сколько прямоугольников входит во фрагмент: их 15, значит, общая площадь составляет 1532 квадратных единиц.

Поскольку 5·3=15 и 8·4=32, мы можем записать следующее равенство:

58·34=5·38·4=1532

Оно является подтверждением сформулированного нами правила умножения обыкновенных дробей, которое выражается как ab·cd=a·cb·d. Оно действует одинаково как для правильных, так и для неправильных дробей; с помощью него можно умножить дроби и с разными, и с одинаковыми знаменателями.

Разберем решения нескольких задач на умножение обыкновенных дробей.

Пример 1

Умножьте 711 на 98.

Решение

Для начала подсчитаем произведение числителей указанных дробей, умножив 7 на 9. У нас получилось 63. Затем вычислим произведение знаменателей и получим: 11·8=88. Составим их двух чисел ответ: 6388.

Все решение можно записать так:

711·98=7·911·8=6388

Ответ: 711·98=6388. 

Если в ответе у нас получилась сократимая дробь, нужно довести вычисление до конца и выполнить ее сокращение. Если же у нас получилась неправильная дробь, из нее надо выделить целую часть.

Пример 2

  Вычислите произведение дробей 415 и 556.

Решение

Cогласно изученному выше правилу, нам надо умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Запись решения будет выглядеть так:

415·556=4·5515·6=22090

Мы получили сократимую дробь, т.е. такую, у которой есть признак делимости на 10.

Выполним сокращение дроби: 22090 НОД (220, 90)=10, 22090=220:1090:10=229. В итоге у нас получилась неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть и получим смешанное число: 229=249.

Ответ: 415·556=249.

Для удобства вычисления мы можем сократить и исходные дроби перед выполнением действия умножения, для чего нам надо привести дробь к виду a·cb·d. Разложим значения переменных на простые множители и одинаковые из них сократим.

Поясним, как это выглядит, используя данные конкретной задачи.

Пример 3

Вычислите произведение 415·556.

Решение

Запишем вычисления, исходя из правила умножения. У нас получится:

415·556=4·5515·6

Поскольку как 4=2·2, 55=5·11, 15=3·5 и 6=2·3, значит,4·5515·6=2·2·5·113·5·2·3.

Далее мы можем просто сократить некоторые множители и получить следующее: .

Нам осталось подсчитать несложные произведения в числителе и знаменателе и выделить целую часть из получившейся в итоге неправильной дроби:

2·113·3=229=249

Ответ: 415·556=249. 

Числовое выражение, в котором имеет место умножение обыкновенных дробей, обладает переместительным свойством, то есть при необходимости мы можем изменить порядок следования множителей:

ab·cd=cd·ab=a·cb·d

Опиши задание

Как перемножить обыкновенную дробь с натуральным числом

Запишем сразу основное правило, а потом попробуем объяснить его на практике.

Определение 2

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель этой дроби на это число. При этом знаменатель итоговой дроби будет равен знаменателю исходной обыкновенной дроби. Умножение некоторой дроби ab на натуральное число n  можно записать в виде формулы ab·n=a·nb.

Понять эту формулу легко, если вспомнить, что любое натуральное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным единице, то есть:

ab·n=ab·n1=a·nb·1=a·nb

Поясним нашу мысль конкретными примерами.

Пример 4

Вычислите произведение 227 на 5.

Решение 

В результате умножения числителя исходной дроби на второй множитель получим 10. В силу правила, указанного выше, мы получим в результате 1027. Все решение приведено в этой записи:

227·5=2·527=1027

Ответ: 227·5=1027 

Когда мы перемножаем натуральное число с обыкновенной дробью, то часто приходится сокращать результат или представлять его как смешанное число.

Пример 5

Условие: вычислите произведение 8 на 512.

Решение

По правилу выше мы умножаем натуральное число на числитель. В итоге получаем, что 512·8=5·812=4012. Итоговая дробь имеет признаки делимости на 2, поэтому нам нужно выполнить ее сокращение:

НОК(40, 12)=4, значит, 4012=40:412:4=103

Теперь нам осталось только выделить целую часть и записать готовый ответ: 103=313.

В этой записи можно видеть все решение целиком: 512·8=5·812=4012=103=313.

Также мы могли сократить дробь с помощью разложения числителя и знаменателя на простые множители, и результат получился бы точно таким же.

Ответ: 512·8=313.

Числовое выражение, в котором натуральное число умножается на дробь, также обладает свойством перемещения, то есть порядок расположения множителей не влияет на результат:

ab·n=n·ab=a·nb

Как выполнить умножение трех и более обыкновенных дробей

Мы можем распространить на действие умножения обыкновенных дробей те же свойства, которые характерны для умножения натуральных чисел. Это следует из самого определения данных понятий.

Благодаря знанию сочетательного и переместительного свойства можно перемножать три обыкновенные дроби и более. Допустимо переставлять множители местами для большего удобства или расставлять скобки так, как будет легче считать.

Покажем на примере, как это делается.

Пример 6

Умножьте четыре обыкновенные дроби 120, 125, 37 и 58.

Решение: для начала сделаем запись произведения. У нас получится 120·125·37·58. Нам надо перемножить между собой все числители и все знаменатели: 120·125·37·58=1·12·3·520·5·7·8.

Перед тем, как начать умножение, мы можем немного облегчить себе задачу и разложить некоторые числа на простые множители для дальнейшего сокращения. Это будет проще, чем сокращать уже готовую дробь, получившуюся в результате.

1·12·3·520·5·7·8=1·(2·2·3)·3·52·2·5·5·7(2·2·2)=3·35·7·2·2·2=9280

Ответ: 1·12·3·520·5·7·8=9280.

Пример 7

Перемножьте 5 чисел 78·12·8·536·10.

Решение

Для удобства мы можем сгруппировать дробь 78 с числом 8, а число 12 с дробью 536, поскольку при этом нам будут очевидны будущие сокращения. В итоге у нас получится:
78·12·8·536·10=78·8·12·536·10=7·88·12·536·10=71·2·2·3·52·2·3·3·10==7·53·10=7·5·103=3503=11623

Ответ: 78·12·8·536·10=11623.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/dejstvitelnye-ratsionalnye-irratsionalnye-chisla/umnozhenie-obyknovennyh-drobej/

Закон
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: