Формулы логарифмов и их названия. Вычисление логарифмов, примеры, решения

Содержание
  1. Логарифм и его свойства
  2. Как посчитать логарифм
  3. Десятичный логарифм
  4. Натуральный логарифм
  5. Свойства логарифмов
  6. Что такое логарифм простыми словами
  7. Что такое логарифм и как его посчитать
  8. Логарифмы со специальным обозначением
  9. Десятичный логарифм
  10. Натуральный логарифм
  11. Основные свойства логарифмов
  12. Логарифмический ноль и логарифмическая единица
  13. Основное логарифмическое тождество
  14. Сумма логарифмов. Разница логарифмов
  15. Вынесение показателя степени из логарифма
  16. Переход к новому основанию
  17. 10 примеров логарифмов с решением
  18. Определение логарифма и его свойства: теория и решение задач
  19. Исторический очерк
  20. Определение логарифма
  21. Разновидности логарифмов
  22. Правила и ограничения
  23. Как найти логарифм
  24. Уравнения и неравенства
  25. Примеры задач
  26. Практическое применение
  27. Логарифмические зависимости
  28. Механика и физика
  29. Химия
  30. Психология и биология
  31. Другие области
  32. Логарифм. Как вычислить логарифм?
  33. Чтобы вычислить логарифм – нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?
  34. Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание – число Эйлера \(e\) (равное примерно \(2,7182818…\)), и записывается такой логарифм как \(\ln{a}\).
  35. Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg{a}\)
  36. Любое число \(a\) может быть представлено как логарифм с основанием \(b\):       \(a=\log_{b}{b{a}}\)
  37. Формулы логарифмов: примеры решения перехода к новому основанию натурального логарифма и таблица или шпаргалка для этого в 10 классе
  38. Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения
  39. Примеры решения логарифмов на основании формул
  40. Логарифм: что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства
  41. Логарифмы: правила, основные свойства и формулы :
  42. Свойства логарифмов
  43. Основное логарифмическое тождество
  44. Два очевидных следствия определения логарифма
  45. Логарифм произведения и логарифм частного
  46. Степень можно выносить за знак логарифма
  47. Формула перехода к новому основанию
  48. Несколько простых примеров с логарифмами

Логарифм и его свойства

Формулы логарифмов и их названия. Вычисление логарифмов, примеры, решения

Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.

Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.

Логарифм от числа 32 по основанию 2 (\(log_{2}(32)\)) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:

$$ log_{2}(32)=5;$$

Аналогично, глядя в таблицу получим, что:

$$log_{2}(4)=2;$$ $$log_{2}(8)=3;$$ $$log_{2}(16)=4;$$ $$log_{2}(64)=6;$$ $$log_{2}(128)=7.$$

Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.

Теперь дадим определение логарифма в общем виде:

Логарифмом положительного числа \(b\) по основанию положительно числа \(a\) называется степень \(c\), в которую нужно возвести число \(a\), чтобы получить \(b\)

$$log_{a}(b)=c;$$ $$a{c}=b.$$

Будьте внимательны! В первое время обычно путают, что такое основание и то, что стоит под логарифмом (аргумент). Логарифм – это всегда функция, зависящая от двух переменных. Чтобы их не путать, помните определение логарифма – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.

Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:

$$log_{2}(5)=???$$

Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:

$$log_{2}(5)=2,32192809…$$

Или логарифм шести по основанию 4:

$$log_{4}(6)= 1.2924812…$$

На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!

Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм \(log_{4}(6)\). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6ке:

$$ log_{4}(4) \lt log_{4}(6) \lt log_{4}(16);$$ $$ 1 \lt log_{4}(6) \lt 2. $$

Значит \(log_{4}(6)\) принадлежите промежутку от 1 до 2:

$$ log_{4}(6) \in [1;2]. $$

Как посчитать логарифм

Перед тем, как научиться считать логарифмы, нужно ввести несколько ограничений. Дело в том, что функция логарифма \(log_{a}(b)\) существует только при положительных значениях основания \(a\) и аргумента \(b\). И кроме этого на основание накладывается условие, что она не должно быть равно \(1\).

$$ log_{a}(b) \quad существует,\;при \quad a \gt 0; \;b \gt 0 \;a eq 1.$$

Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть \(0\). А основание не равно \(1\), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь \(1\) в любой степени это будет \(1\).

При этих ограничениях логарифм существует.

В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.

Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.

$$log_{3}(\frac{1}{3})=-1;$$

Так как (вспоминайте определение отрицательной степени)

$$3{-1}=\frac{1}{3};$$

Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:

  • Во-первых, постарайтесь представить основание и аргумент (то, что стоит под логарифмом) в виде степеней с одинаковым основанием. Параллельно с этим избавляемся от всех десятичных дробей – переводим их в обыкновенные.
  • Разобраться в какую степень \(x\) нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Когда у вас там и там степени с одинаковым основанием, это сделать довольно просто.
  • \(x\) и будет искомым значением логарифма.

Давайте разберем на примерах.

Пример 1. Посчитать логарифм \(9\) по основанию \(3\): \(log_{3}(9)\)

  • Сначала представим аргумент и основание в виде степени тройки: $$ 3=31, \qquad 9=32;$$
  • Теперь надо разобраться в какую степень \(x\) нужно возвести \(31\), чтобы получить \(32\) $$ (31)x=32, $$ $$ 3{1*x}=32, $$ $$ 1*x=2,$$ $$ x=2.$$
  • Вот мы и решили: $$log_{3}(9)=2.$$

Пример 2. Вычислить логарифм \(\frac{1}{125}\) по основанию \(5\): \(log_{5}(\frac{1}{125})\)

  • Представим аргумент и основание в виде степени пятерки: $$ 5=51, \qquad \frac{1}{125}=\frac{1}{53}=5{-3};$$
  • В какую степень \(x\) надо возвести \(51\), чтобы получить \(5{-3}\): $$ (51)x=5{-3}, $$ $$ 5{1*x}=5{-3},$$ $$1*x=-3,$$ $$x=-3.$$
  • Получили ответ: $$ log_{5}(\frac{1}{125})=-3.$$

Пример 3. Вычислить логарифм \(4\) по основанию \(64\): \(log_{64}(4)\)

  • Представим аргумент и основание в виде степени двойки: $$ 64=26, \qquad 4=22;$$
  • В какую степень \(x\) надо возвести \(26\), чтобы получить \(2{2}\): $$ (26)x=2{2}, $$ $$ 2{6*x}=2{2},$$ $$6*x=2,$$ $$x=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$$
  • Получили ответ: $$ log_{64}(4)=\frac{1}{3}.$$

Пример 4. Вычислить логарифм \(1\) по основанию \(8\): \(log_{8}(1)\)

  • Представим аргумент и основание в виде степени двойки: $$ 8=23 \qquad 1=20;$$
  • В какую степень \(x\) надо возвести \(23\), чтобы получить \(2{0}\): $$ (23)x=2{0}, $$ $$ 2{3*x}=2{0},$$ $$3*x=0,$$ $$x=\frac{0}{3}=0.$$
  • Получили ответ: $$ log_{8}(1)=0.$$

Пример 5. Вычислить логарифм \(15\) по основанию \(5\): \(log_{5}(15)\)

  • Представим аргумент и основание в виде степени пятерки: $$ 5=51 \qquad 15= ???;$$ \(15\) в виде степени пятерки не представляется, поэтому этот логарифм мы не можем посчитать. У него значение будет иррациональное. Оставляем так, как есть: $$ log_{5}(15).$$

Внимание!

Как понять, что некоторое число \(a\) не будет являться степенью другого числа \(b\). Это довольно просто – нужно разложить \(a\) на простые множители.

$$16=2*2*2*2=24,$$

\(16\) разложили, как произведение четырех двоек, значит \(16\) будет степенью двойки.

$$ 48=6*8=3*2*2*2*2,$$

Разложив \(48\) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя \(2\) и \(3\), значит \(48\) не будет степенью.

Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.

Десятичный логарифм

На самом деле, все просто. Десятичный логарифм – это любой обыкновенный логарифм, но с основанием 10. Обозначается – \(lg(a)\).

Пример 6

$$ log_{10}(100)= lg(100)=2;$$ $$log_{10}(1000)=lg(1000)=3;$$ $$log_{10}(10)=lg(10)=1.$$

Натуральный логарифм

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию \(e\). Обозначение – \(ln(x)\). Что такое \(e\)? Так обозначают экспоненту, число-константу, равную, примерно, \(2,718281828459…\).

Это число известно тем, что используется в многих математических законах.

Просто запомните, что логарифмы с основанием \(e\) часто встречаются, и поэтому им придумали специальное название – натуральный логарифм.

Пример 7

$$ log_{e}(e2)=ln(e2)=2;$$ $$ log_{e}(e)=ln(e)=1;$$ $$ log_{e}(e5)=ln(e5)=5.$$

Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.

У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.

Свойства логарифмов

$$1. \; log_{a}(1)=0;$$ $$2. \; log_{a}(a)=1;$$ $$3. \; log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+ log_{a}(c);$$ $$4. \; log_{a}(\frac{b}{c})= log_{a}(b)- log_{a}(c);$$ $$5. \; log_{a}(bm)= m*log_{a}(b);$$ $$6.

\; log_{am}(b)=\frac{1}{m}* log_{a}(b);$$ $$ 7. \; log_{a}(b)=\frac{ log_{c}(b)}{ log_{c}(a)}, ;\ b \gt 0;\c \gt 0;\c eq 1; $$ $$ 8. \; log_{a}(b)=\frac{1}{log_{b}(a)};$$ $$ 9. \; a{ log_{a}(b)}=b.

$$

Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.

Пример 8. Воспользоваться формулой \(3\). Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.

$$log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+ log_{a}(c);$$ $$ log_{3}(12)=log_{3}(3*4)=log_{3}(3)+log_{3}(4)=1+log_{3}(4);$$ $$ log_{3}(2.7)+log_{3}(10)=log_{3}(2.7*10)=log_{3}(27)=3;$$

Пример 9. Воспользоваться формулой \(4\). Логарифм от частного – это разность логарифмов.

$$ log_{a}(\frac{b}{c})= log_{a}(b)- log_{a}(c);$$ $$ log_{7}(90)-log_{7}(2)=log_{7}(\frac{98}{2})=log_{7}(49)=2;$$

Пример 10. Формула \(5,6\). Свойства степени.

$$log_{a}(bm)= m*log_{a}(b);$$ $$log_{am}(b)=\frac{1}{m}* log_{a}(b);$$

Логично, что будет выполняться и такое соотношение:

$$log_{am}(bn)=\frac{n}{m}* log_{a}(b);$$

И если \(m=n\), то:

$$log_{am}(bm)=\frac{m}{m}* log_{a}(b);=log_{a}(b)$$ $$log_{4}(9)=log_{22}(32)=log_{2}(3);$$

Пример 11. Формулы \(7,8\). Переход к другому основанию.

$$ log_{a}(b)=\frac{ log_{c}(b)}{ log_{c}(a)}, \; b \gt 0\;c \gt 0\;c eq 1; $$ $$ log_{a}(b)=\frac{1}{log_{b}(a)};$$ $$log_{4}(5)=\frac{1}{log_{5}(4)};$$ $$log_{4}(5)=\frac{log_{7}(5)}{log_{7}(4)};$$

Источник: https://sigma-center.ru/logarithm

Что такое логарифм простыми словами

Формулы логарифмов и их названия. Вычисление логарифмов, примеры, решения

Многие школьники считают логарифмы сложной темой в курсе математики. Но если разобрать, что такое логарифм подробно, от простого к сложному, то на ЕГЭ вы не станете их опасаться.

Часто у учеников возникает путаница, где аргумент, а где основание логарифма. И что же нужно возвести в степень, чтобы этот логарифм, наконец, посчитать.

В этой статье мы откроем секрет, как легче запомнить принцип решения логарифма.

Итак, давайте разбираться, что такое логарифм.

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

где a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.и преобразовываем вЗапомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Приведем пример:

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.

Еще примеры:

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.

Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.

Например, вычислим lg100

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть

Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…

Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что

И вычислить его можно таким образом:

Основные свойства логарифмов

Логарифмы можно преобразовывать, но для этого необходимо знать правила, которые называются основными свойствами логарифмов. Данные свойства обязательно нужно знать каждому ученику! Без знания этих свойств невозможно решить ни одну серьезную логарифмическую задачу. Вот эти свойства:

Совет – тренируйтесь применять эти свойства в обе стороны, то есть как слева направо, так и справа налево!

Рассмотрим свойства логарифмов на примерах.

Логарифмический ноль и логарифмическая единица

Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти  простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.

Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:

loga a = 1 – это логарифмическая единица.

Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a0 = 1:

loga 1 = 0 – логарифмический ноль.

Основное логарифмическое тождество

В первой формуле число m становится степенью, которая стоит в аргументе. Данное число может быть любым. Некоторые выражения могут быть решены только с помощью этого тождества.

Вторая формула по сути является просто переформулированным определением логарифма

Разберем применение тождества на примере:

Необходимо найти значение выраженияСначала преобразуем логарифм

Вернемся к исходному выражению и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:Теперь применим основное логарифмическое  тождество и получим:

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать:Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать:Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!

Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!

Вынесение показателя степени из логарифма

Вынесение показателя степени из логарифма:

Переход к новому основанию

Когда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.

Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Разберем на примере.

Необходимо найти значение такого выраженияДля начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:

Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма:Подставим полученные результаты в исходное выражение:

10 примеров логарифмов с решением

1. Найти значение выражения2. Найти значение выражения3. Найти значение выражения4. Найти значение выражения5. Найти значение выражения6. Найти значение выраженияСначала найдем значениеДля этого приравняем его к Х:Тогда изначальное выражение принимает вид:

7. Найти значение выраженияПреобразуем наше выражение:Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: 8.

Найти значение выраженияТак как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:9. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя.

Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:Подставляем полученные значения в исходное выражение:

4 + 3 = 7

10. Найти значение выраженияОбращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:

Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм.

Источник: https://yourrepetitor.ru/chto-takoe-logarifm-kak-poschitat-logarifm-svojstva-logarifmov-primery-resheniya-logarifmov/

Определение логарифма и его свойства: теория и решение задач

Формулы логарифмов и их названия. Вычисление логарифмов, примеры, решения

По мере развития общества, усложнения производства развивалась и математика. Движение от простого к сложному. От обычного учёта методом сложения и вычитания, при их многократном повторении, пришли к понятию умножения и деления.

Сокращение многократно повторяемой операции умножения стало понятием возведения в степень. Первые таблицы зависимости чисел от основания и числа возведения в степень были составлены ещё в VIII веке индийским математиком Варасена.

С них и можно отсчитывать время возникновения логарифмов.

  • Исторический очерк
  • Определение логарифма
  • Разновидности логарифмов
  • Правила и ограничения
  • Как найти логарифм
  • Уравнения и неравенства
  • Практическое применение

Исторический очерк

Возрождение Европы в XVI веке стимулировало и развитие механики. Требовался большой объем вычисления, связанных с умножением и делением многозначных чисел. Древние таблицы оказали большую услугу.

Они позволяли заменять сложные операции на более простые – сложение и вычитание. Большим шагом вперёд стала работа математика Михаэля Штифеля, опубликованная в 1544 году, в которой он реализовал идею многих математиков.

Что позволило использовать таблицы не только для степеней в виде простых чисел, но и для произвольных рациональных.

В 1614 году шотландец Джон Непер, развивая эти идеи, впервые ввёл новый термин «логарифм числа». Были составлены новые сложные таблицы для расчёта логарифмов синусов и косинусов, а также тангенсов. Это сильно сократило труд астрономов.

Стали появляться новые таблицы, которые успешно использовались учёными на протяжении трёх веков. Прошло немало времени, прежде чем новая операция в алгебре приобрела свой законченный вид. Было дано определение логарифма, и его свойства были изучены.

Только в XX веке с появлением калькулятора и компьютера человечество отказалось от древних таблиц, успешно работавших на протяжении XIII веков.

Определение логарифма

Сегодня мы называем логарифмом b по основанию a число x, которое является степенью числа а, чтобы получилось число b. В виде формулы это записывается: x = log a(b).

Например, log 3(9) будет равен 2. Это очевидно, если следовать определению. Если 3 возвести в степень 2, то получим 9.

Так, сформулированное определение ставит только одно ограничение, числа a и b должны быть вещественными.

Разновидности логарифмов

Классическое определение носит название вещественный логарифм и фактически является решением уравнения ax = b. Вариант a = 1 является пограничным и не представляет интереса. Внимание: 1 в любой степени равно 1.

Вещественное значение логарифма определено только при основании и аргументе больше 0, при этом основание не должно равняться 1.

Особое место в области математики играют логарифмы, которые будут называться в зависимости от величины их основания:

  • Двоичные с основанием a = 2, нашли своё применение во многих разделах дискретной математики, информатике, а также теории информации; записываются как lb (b).
  • Десятичные с основанием a = 10; записываются как lg (b).
  • Натуральные с основанием a = e, где математическая константа e = 2,71828 — иррациональное и трансцендентное число, называемое Постоянная Эйлера; записываются как ln (b).

Правила и ограничения

Основополагающим свойством логарифмов является правило: логарифм произведения равен логарифмической сумме. log abp = lоg a(b) + log a(p).

Как вариант этого утверждения будет: log с(b/p) = lоg с(b) — log с(p), функция частного равна разности функций.

Из предыдущих двух правил легко видно, что: lоg a(bp) = p * log a(b).

Среди других свойств можно выделить:

  • Правило тождественности, когда aloga(b) = b, следствием этого правила является следующее утверждение: если aloga(b) = aloga(c), то b = c.
  • Замечательные значения отражены в двух формулах: логарифм единицы всегда равен нулю log a(1) = 0 и логарифм числа, равного основанию, равен единице log a(a) = 1.
  • При использовании отрицательных чисел можно применить формулу, справедливую для модуля чисел: log c|ab| = log c|a| + log c|b|.

Замечание. Не надо делать распространённую ошибку — логарифм суммы не равен сумме логарифмов.

Как найти логарифм

Многие века операция поиска логарифма была довольно трудоёмкой задачей. Математики пользовались известной формулой логарифмической теории разложения на многочлен:

ln (1 + x) = x — (x2)/2 + (x3)/3 — ( x4)/4 + … + ((-1)(n + 1))*((xn)/n), где n — натуральное число больше 1, определяющее точность вычисления.

Логарифмы с другими основаниями вычислялись, используя теорему о переходе от одного основания к другому и свойстве логарифма произведения.

Так как этот способ очень трудоёмкий и при решении практических задач трудноосуществим, то использовали заранее составленные таблицы логарифмов, что значительно ускоряло всю работу.

В некоторых случаях использовали специально составленные графики логарифмов, что давало меньшую точность, но значительно ускоряло поиск нужного значения. Кривая функции y = log a(x), построенная по нескольким точкам, позволяет с помощью обычной линейки находить значения функции в любой другой точке. Инженеры длительное время для этих целей использовали так называемую миллиметровую бумагу.

В XVII веке появились первые вспомогательные аналоговые вычислительные условия, которые к XIX веку приобрели законченный вид. Наиболее удачное устройство получило название логарифмическая линейка. При всей простоте устройства, её появление значительно ускорило процесс всех инженерных расчётов, и это переоценить трудно. В настоящее время уже мало кто знаком с этим устройством.

Появление калькуляторов и компьютеров сделало бессмысленным использование любых других устройств.

Уравнения и неравенства

Для решения различных уравнений и неравенств с использованием логарифмов применяются следующие формулы:

  • Переход от одного основания к другому: lоg a(b) = log c(b) / log c(a);
  • Как следствие предыдущего варианта: lоg a(b) = 1 / log b(a).

Для решения неравенств полезно знать:

  • Значение логарифма будет положительным только в том случае, когда основание и аргумент одновременно больше или меньше единицы; если хотя бы одно условие нарушено, значение логарифма будет отрицательным.
  • Если функция логарифма применяется к правой и левой части неравенства, и основание логарифма больше единицы, то знак неравенства сохраняется; в противном случае он меняется.

Примеры задач

Рассмотрим несколько вариантов применения логарифмов и их свойства. Примеры с решением уравнений:

  • Задача 1. Решить уравнение log 2(2x-1) = 4. Решение: по определению 2х — 1 = 24 , или 2х — 1 = 16, далее 2х = 17, получаем х = 8,5. Ответ: при значении х = 8,5 уравнение действительно.
  • Задача 2. Вычислить log 6(30) / log 30(6) — log 6(180) / log5(6). Решение: приведём к одному основанию 6. Следующим действием раскрываем скобки и вместо логарифма 6 по основанию 6 подставляем его значение 1. Таким образом, log 6(30) * lоg 6(30) — log 6(180) * log 6(5). Разложим числа на простые множители log 6(5*6) * log 6(5*6) — lоg 6(5*6*6) * log 6(5) и заменяем логарифм 5 по основанию 6 на t. Тогда (t +1) * (t +1) — (t +2) * t. Раскрываем скобки t2 + t + t +1 — t 2 — 2t. Приводим подобные члены и получаем 1. Ответ: значение выражения равно 1.

Рассмотрим вариант размещения логарифма в степени:

  • Задача 3. Вычислить 25log 5(3). Решение: в условиях задачи запись аналогична следующей (52)log5(3) или 5(2 * log 5(3)). Запишем по-другому: 5log 5(3*2), или квадрат числа в качестве аргумента функции можно записать как квадрат самой функции (5log 5(3))2. Используя свойства логарифмов, это выражение равно 32. Ответ: в результате вычисления получаем 9.

Практическое применение

Являясь исключительно математическим инструментом, кажется далёким от реальной жизни, что логарифм неожиданно приобрёл большое значение для описания объектов реального мира. Трудно найти науку, где его не применяют. Это в полной мере относится не только к естественным, но и гуманитарным областям знаний.

Логарифмические зависимости

Приведём несколько примеров числовых зависимостей:

  • Число простых чисел на интервале от 1 до n приблизительно равно n / ln (n).
  • Для поиска k-го простого числа можно пользоваться формулой k * ln (k).
  • Логарифмическое распределение часто используется для оценки вероятностных событий в генетике и физике.
  • В информатике известно, что для хранения в памяти компьютера натурального числа N потребуется log 2(N) + 1 бит памяти.

Механика и физика

Исторически механика и физика всегда развивались с использованием математических методов исследования и одновременно служили стимулом для развития математики, в том числе логарифмов. Теория большинства законов физики написана языком математики. Приведём только два примера описания физических законов с использованием логарифма.

Решать задачу расчёта такой сложной величины как скорость ракеты можно, применяя формулу Циолковского, которая положила начало теории освоения космоса:

V = I * ln (M1/M2), где

  • V – конечная скорость летательного аппарата.
  • I – удельный импульс двигателя.
  • M 1 – начальная масса ракеты.
  • M 2 – конечная масса.

Другой важный пример — это использование в формуле другого великого учёного Макса Планка, которая служит для оценки равновесного состояния в термодинамике.

S = k * ln (Ω), где

  • S – термодинамическое свойство.
  • k – постоянная Больцмана.
  • Ω – статистический вес разных состояний.

Химия

Менее очевидным будет использования формул в химии, содержащих отношение логарифмов. Приведём тоже только два примера:

  • Уравнение Нернста, условие окислительно-восстановительного потенциала среды по отношению к активности веществ и константой равновесия.
  • Расчёт таких констант, как показатель автопролиза и кислотность раствора тоже не обходятся без нашей функции.

Психология и биология

И уж совсем непонятно при чём здесь психология. Оказывается, сила ощущения хорошо описывается этой функцией как обратное отношение значения интенсивности раздражителя к нижнему значению интенсивности.

После вышеприведённых примеров уже не удивляет, что и в биологии широко используется тема логарифмов. Про биологические формы, соответствующие логарифмическим спиралям, можно писать целые тома.

Другие области

Кажется, невозможно существование мира без связи с этой функцией, и она правит всеми законами. Особенно, когда законы природы связаны с геометрической прогрессией. Стоит обратиться к сайту МатПрофи, и таких примеров найдётся множество в следующих сферах деятельности:

  • Теории акустики.
  • Радиотехнике и электросвязи.
  • Астрономии.
  • Сейсмологии.
  • Оптике.
  • Фотографии.
  • Сельском хозяйстве.
  • Теории управления.

Список может быть бесконечным. Освоив основные закономерности этой функции, можно окунуться в мир бесконечной мудрости.

Источник: https://1001student.ru/matematika/opredelenie-logarifma-i-ego-svojstva-teoriya-i-reshenie-zadach.html

Логарифм. Как вычислить логарифм?

Формулы логарифмов и их названия. Вычисление логарифмов, примеры, решения

Объясним проще. Например, \(\log_{2}{8}\) равен степени, в которую надо возвести \(2\), чтоб получить \(8\). Отсюда понятно, что \(\log_{2}{8}=3\).

Примеры:\(\log_{5}{25}=2\)т.к. \(5{2}=25\)
\(\log_{3}{81}=4\)т.к. \(3{4}=81\)
\(\log_{2}\)\(\frac{1}{32}\)\(=-5\)т.к. \(2{-5}=\)\(\frac{1}{32}\)

Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:

Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание – подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».

Чтобы вычислить логарифм – нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?

Например, вычислите логарифм:  а) \(\log_{4}{16}\)     б) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)     в) \(\log_{\sqrt{5}}{1}\)     г) \(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\)      д) \(\log_{3}{\sqrt{3}}\)

а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому: 

\(\log_{4}{16}=2\)

б) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\frac{1}{3}\)? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени).

\(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)\(=-1\)

в) В какую степень надо возвести \(\sqrt{5}\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

\(\log_{\sqrt{5}}{1}=0\)

г) В какую степень надо возвести \(\sqrt{7}\), чтобы получить \(\sqrt{7}\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

\(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=1\)

д) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\sqrt{3}\)? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень – это степень \(\frac{1}{2}\).

\(\log_{3}{\sqrt{3}}=\)\(\frac{1}{2}\)

Пример: Вычислить логарифм \(\log_{4\sqrt{2}}{8}\)

Решение:

\(\log_{4\sqrt{2}}{8}=x\)Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма: \(\log_{a}{c}=b\)       \(\Leftrightarrow\)       \(a{b}=c\)
\((4\sqrt{2}){x}=8\)Что связывает \(4\sqrt{2}\) и \(8\)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки: \(4=2{2}\)         \(\sqrt{2}=2{\frac{1}{2}}\)         \(8=2{3}\)
\({(2{2}\cdot2{\frac{1}{2}})}{x}=2{3}\)Слева воспользуемся свойствами степени: \(a{m}\cdot a{n}=a{m+n}\) и \((a{m}){n}=a{m\cdot n}\)
\(2{\frac{5}{2}x}=2{3}\)Основания равны, переходим к равенству показателей
\(\frac{5x}{2}\)\(=3\)Умножим обе части уравнения на \(\frac{2}{5}\)
\(x=1,2\)Получившийся корень и есть значение логарифма

Ответ: \(\log_{4\sqrt{2}}{8}=1,2\)

Чтобы это понять, давайте решим уравнение: \(3{x}=9\). Просто подберите \(x\), чтобы равенство сработало. Конечно, \(x=2\).

А теперь решите уравнение: \(3{x}=8\).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.

Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как \(x=\log_{3}{8}\).

Хочу подчеркнуть, что \(\log_{3}{8}\), как и любой логарифм – это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: \(1,892789260714…..\)

Пример: Решите уравнение \(4{5x-4}=10\)

Решение:

\(4{5x-4}=10\)\(4{5x-4}\) и \(10\) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.Воспользуемся определением логарифма: \(a{b}=c\)       \(\Leftrightarrow\)       \(\log_{a}{c}=b\)
\(\log_{4}{10}=5x-4\)Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева
\(5x-4=\log_{4}{10}\)Перед нами линейное уравнение. Перенесем \(4\) вправо.И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу. 
\(5x=\log_{4}{10}+4\)Поделим уравнение на 5
\(x=\)\(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Ответ: \(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, aeq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание – число Эйлера \(e\) (равное примерно \(2,7182818…\)), и записывается такой логарифм как \(\ln{a}\).

То есть, \(\ln{a}\) это то же самое, что и \(\log_{e}{a}\), где \(a\) – некоторое число.

Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg{a}\)

То есть, \(\lg{a}\) это то же самое, что и \(\log_{10}{a}\), где \(a\) – некоторое число.

У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:

Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.

Вспомним краткую запись определения логарифма:

если     \(a{b}=c\),    то   \(\log_{a}{c}=b\)

То есть, \(b\) – это тоже самое, что \(\log_{a}{c}\). Тогда мы можем в формуле \(a{b}=c\) написать \(\log_{a}{c}\) вместо \(b\). Получилось \(a{\log_{a}{c}}=c\) – основное логарифмическое тождество.

Остальные свойства логарифмов вы можете найти здесь. С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.

Пример: Найдите значение выражения \(36{\log_{6}{5}}\)

Решение:

\(36{\log_{6}{5}}=\)Сразу пользоваться свойством \(a{\log_{a}{c}}=c\) мы не можем, так как в основании степени и в основании логарифма – разные числа. Однако мы знаем, что \(36=6{2}\)
\(=(6{2}){\log_{6}{5}}=\)Зная формулу \((a{m}){n}=a{m\cdot n}\), а так же то, что множители можно менять местами, преобразовываем выражение
\(=6{2\cdot\log_{6}{5}}=6{log_{6}{5}\cdot2}=(6{log_{6}{5}}){2}=\)Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством.
\(=5{2}=25\)Ответ готов.

Ответ: \(25\)

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_{2}{4}\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_{2}{4}\). 

Но \(\log_{3}{9}\) тоже равен \(2\), значит, также можно записать \(2=\log_{3}{9}\)  . Аналогично и с \(\log_{5}{25}\), и с \(\log_{9}{81}\), и т.д. То есть, получается  

\(2=\log_{2}{4}=\log_{3}{9}=\log_{4}{16}=\log_{5}{25}=\log_{6}{36}=\log_{7}{49}…\)

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_{2}{8}\), или как \(\log_{3}{27}\), или как \(\log_{4}{64}\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

\(3=\log_{2}{8}=\log_{3}{27}=\log_{4}{64}=\log_{5}{125}=\log_{6}{216}=\log_{7}{343}…\)

И с четверкой:

\(4=\log_{2}{16}=\log_{3}{81}=\log_{4}{256}=\log_{5}{625}=\log_{6}{1296}=\log_{7}{2401}…\)

И с минус единицей:

\(-1=\) \(\log_{2}\)\(\frac{1}{2}\)\(=\) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)\(=\) \(\log_{4}\)\(\frac{1}{4}\)\(=\) \(\log_{5}\)\(\frac{1}{5}\)\(=\) \(\log_{6}\)\(\frac{1}{6}\)\(=\) \(\log_{7}\)\(\frac{1}{7}\)\(…\)

И с одной третьей:

\(\frac{1}{3}\)\(=\log_{2}{\sqrt[3]{2}}=\log_{3}{\sqrt[3]{3}}=\log_{4}{\sqrt[3]{4}}=\log_{5}{\sqrt[3]{5}}=\log_{6}{\sqrt[3]{6}}=\log_{7}{\sqrt[3]{7}}…\)

И так далее.

Любое число \(a\) может быть представлено как логарифм с основанием \(b\):       \(a=\log_{b}{b{a}}\)

Пример: Найдите значение выражения \(\frac{\log_{2}{14}}{1+\log_{2}{7}}\)

Решение:

\(\frac{\log_{2}{14}}{1+\log_{2}{7}}\)\(=\)Превращаем единицу в логарифм с основанием \(2\): \(1=\log_{2}{2}\)
\(=\)\(\frac{\log_{2}{14}}{\log_{2}{2}+\log_{2}{7}}\)\(=\)Теперь пользуемся свойством логарифмов: \(\log_{a}{b}+\log_{a}{c}=\log_{a}{(bc)}\)
\(=\)\(\frac{\log_{2}{14}}{\log_{2}{(2\cdot7)}}\)\(=\)\(\frac{\log_{2}{14}}{\log_{2}{14}}\)\(=\)В числителе и знаменателе одинаковые числа – их можно сократить.
\(=1\)Ответ готов.

Ответ: \(1\)

Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства

Источник: http://cos-cos.ru/math/75/

Формулы логарифмов: примеры решения перехода к новому основанию натурального логарифма и таблица или шпаргалка для этого в 10 классе

Формулы логарифмов и их названия. Вычисление логарифмов, примеры, решения

19.12.2019

Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения. Ранее мы уже познакомились с понятием логарифма. А также рассмотрели основные свойства и примеры решения.

Формулы логарифмов сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства.

Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения

Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов.

Примеры решения логарифмов на основании формул

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.

Согласно определения logab = x, что равносильно ax = b, поэтому logaax = x.

Логарифмы, примеры:

log28 = 3, т.к. 23 = 8

log749 = 2, т.к. 72 = 49

log51/5 = -1, т.к. 5-1 = 1/5

Десятичный логарифм — это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

lg100 = 2

log10100 = 2, т.к. 102 = 100

Натуральный логарифм — также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828… — иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

Основное логарифмическое тождествоa logab = bПример.

82log83 = (82log83)2 = 32 = 9

Логарифм произведения равен сумме логарифмов loga (bc) = logab + logacПример.

log38,1 + log310 = log3 (8,1*10) = log381 = 4

Логарифм частного равен разности логарифмовloga (b/c) = logab — logacПример.

9 log550/9 log52 = 9 log550- log52 = 9 log525 = 9 2 = 81

Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

Показатель степени логарифмируемого числа logab m = mlogab

Показатель степени основания логарифма loganb =1/n*logab

loganb m = m/n*logab,

если m = n, получим loganb n = logab

Пример.

log49 = log223 2 = log23

Переход к новому основанию
logab = logcb/logca,

если c = b, получим logbb = 1

тогда logab = 1/logba

Пример.

log0,83*log31,25 = log0,83*log0,81,25/log0,83 = log0,81,25 = log4/55/4 = -1

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям.

Источник:

Логарифм: что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства

Сейчас речь пойдет о трех страшных буквах: l o g.Существовать в нашем бытии они просто так не могут. Обязательно должен быть какой-нибудь индекс — число снизу (основание логарифма) и число после букв (аргумент логарифма).

Прежде, чем мы перейдем к тому, что такое логарифм, решим парочку подводящих примеров.

Чтобы справиться с этим примером, мы проговариваем в голове: какое число нужно дважды (т.к. корень квадратный) умножить само на себя, чтобы получить 81.

А этот пример можно решить по алгоритму (решения показательных уравнений), а можно так же провести разговор с самим собой (главное не вслух, я считаю это нормально, но кого-то вы можете напугать разговором с самим собой): сколько раз нужно число 3 умножить само на себя, чтобы получить 27. Постепенным перемножением мы дойдем до ответа.

Тогда, если дело касается логарифма:

можно сказать так: в какую степень нужно возвести 3 (число снизу — основание логарифма), чтобы получить 27 (число слева — аргумент логарифма). Не напоминает выше стоящий пример?

На самом деле в этом и заключается основная формула (определение логарифма):

Логарифм говорит нам (кому-то кричит): логарифм числа «b» по основанию «a» равняется числу «c». Тогда без логарифма это можно сформулировать так: чтобы получить число «b», требуется число «a» возвести в степень «c». Логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

У отца log есть два родных сына: ln и lg. Так же, как сыновья отличаются возрастом (мы говорим о максимальной точности), так и эти логарифмы отличаются основанием (числовым индексом снизу).

Данные логарифмы придумали для упрощения записи. На самом деле в прикладной математики именно логарифмы по такому основанию встречаются чаще всех остальных. А мы все в глубине души народ ленивый, так что почему бы себе жизнь не упростить?

Что нужно запомнить: ln — это обычный логарифм только по основанию e ( e — это число Эйлера, e = 2,7182…, мой номер телефона, кстати, — это последние 11 цифр числа Эйлера, так что буду ждать звонка).

А lg — это обычный логарифм по основанию 10 (10ая система — это система счисления, в которой мы живем, столько пальцев на руках у среднего человека. В общем 10 — это как 9, только на 1 больше).

Как мы не можем существовать без еды, воды, интернета…  Так и логарифм не представляет свое существование без ОДЗ.

Всегда, когда существует логарифм, должно быть:

«Почему это так?» — это первый вопрос, который я предоставляю тебе. Советую начать с того, что логарифм — это обратное действие от возведения в степень.

А теперь  разберем теорию на практике:

В какую степень нужно возвести два (число в основании), чтобы получить шестнадцать (аргумент логарифма).

Два нужно четыре раза умножить само на себя, чтобы получить 16.

Ответ: 4.

Источник:

Логарифмы: правила, основные свойства и формулы :

Логарифмы и правила действий с ними достаточно емкие и простые. Следовательно, разобраться в данной теме вам не составит труда. После того как вы узнаете все правила натуральных логарифмов, любая задача решится самостоятельно.

Первое знакомство с этой темой может показаться скучным и бессмысленным, но именно при помощи логарифмов решились многие проблемы математиков XVI века. «О чем это?» — подумали вы.

Прочтите статью до конца и узнаете, что этот раздел «царицы наук» может быть интересен не только математикам, ученым точных наук, но и простым ученикам средних школ.

Источник: https://rgiufa.ru/matematika-fizika-himiya/kakie-sushhestvuyut-formuly-logarifmov.html

Свойства логарифмов

Формулы логарифмов и их названия. Вычисление логарифмов, примеры, решения

Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что ac = b: log a b=c⇔ a c =b (a>0,a≠1,b>0)       

Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.

Основное логарифмическое тождество

a log a b =b (a>0,a≠1) (2)

Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического “тождества” при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.

Два очевидных следствия определения логарифма

log a a=1 (a>0,a≠1) (3)
log a 1=0 (a>0,a≠1) (4)

Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень – единицу.

Логарифм произведения и логарифм частного

log a (bc)= log a b+ log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0) (5)

log a b c = log a b− log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0) (6)

Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании “слева направо” происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного – расширение ОДЗ.

Действительно, выражение log a (f(x)g(x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Преобразуя данное выражение в сумму log a f(x)+ log a g(x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).

Степень можно выносить за знак логарифма

log a b p =p log a b (a>0,a≠1,b>0) (7)

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

log a (f (x) 2 =2 log a f(x)

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть – только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию

log a b= log c b log c a (a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1) (8)

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

log a b= 1 log b a (a>0,a≠1,b>0,b≠1) (9)

Десятичным логарифмом числа x называется логарифм по основанию 10. Десятичные логарифмы используются довольно часто, поэтому для них введено специальное обозначение: log10x = lg x. Все перечисленные выше формулы сохраняют актуальность для десятичных логарифмов. Например, lg(xy)=lgx+lgy (x>0,y>0) .

Натуральным логарифмом числа x (обозначение lnx) называется логарифм х по основанию e. Число e – иррациональное, приближенно равно 2,71. Например, ln e = 1. Пользуясь формулой (8), можно любой логарифм свести к десятичным или натуральным логарифмам: log a b= lgb lga = lnb lna (a>0,a≠1,b>0)

Несколько простых примеров с логарифмами

Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.

Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log5125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).

a log a b =b (a>0,a≠1)
log a a=1 (a>0,a≠1)
log a 1=0 (a>0,a≠1)
log a (bc)= log a b+ log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0)
log a b c = log a b− log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0)
log a b p =p log a b (a>0,a≠1,b>0)
log a b= log c b log c a (a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1)
log a b= 1 log b a (a>0,a≠1,b>0,b≠1)

Возможно, вас заинтересуют также:

Источник: http://www.repetitor2000.ru/svoistva_logarifmov_01.html

Закон
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: